실계수 사차방정식의 성질

실계수 사차방정식에 대한 성질에 관한 질문이 있습니다. 주어진 방정식은 a^4+pa^3+qa^2+ra+10985=0이고, 이 방정식의 세 근은 각각 x, y, z입니다. 이때, 옳은 설명을 <보기>에서 선택해야 하는데, <보기>에는 다음과 같은 내용이 있습니다.

ㄱ. 이 방정식은 2개의 실근과 2개의 허근을 가진다.
ㄴ. 이 방정식의 실근은 모두 다른 값을 가진다.
ㄷ. x는 유리수이고, z는 자연수이다.

이 중에서 옳은 설명을 선택해야 합니다. 이를 위해 주어진 방정식과 근의 성질에 대해 자세히 알아보겠습니다.

주어진 방정식은 사차방정식으로, 최고차항의 계수가 1이고 모든 계수가 실수인 방정식입니다. 따라서 이 방정식은 실근과 허근을 가질 수 있습니다. 하지만 방정식의 근의 개수는 일반적으로 최고차항의 계수와 계수들의 부호에 따라 결정됩니다.

주어진 방정식의 경우, 최고차항의 계수는 1이고 모든 계수가 실수이므로 방정식은 실근과 허근을 가질 수 있습니다. 따라서 <보기> 중에서 ㄱ은 옳은 설명입니다.

또한, 주어진 방정식의 근은 각각 x, y, z로 주어졌는데, 이 근들이 모두 다른 값을 가지는지에 대한 질문이 있습니다. 이를 판단하기 위해선 방정식의 근의 중복 여부를 확인해야 합니다. 하지만 주어진 방정식의 계수나 근의 값을 통해 중복 여부를 판단할 수 있는 정보가 주어지지 않았습니다. 따라서, 주어진 정보만으로는 근의 중복 여부를 판단할 수 없습니다. 따라서 <보기> 중에서 ㄴ은 옳은 설명이 아닙니다.

마지막으로, 주어진 방정식의 근 x와 z에 대한 설명이 있습니다. 이 설명은 x는 유리수이고, z는 자연수라고 주장하고 있습니다. 하지만 주어진 방정식이 어떤 유리수와 자연수를 근으로 가지는지에 대한 정보가 주어지지 않았습니다. 따라서, 주어진 정보만으로는 x가 유리수이고, z가 자연수인지를 판단할 수 없습니다. 따라서 <보기> 중에서 ㄷ도 옳은 설명이 아닙니다.

결론적으로, 주어진 방정식의 성질에 대한 옳은 설명은 <보기> 중에서 ㄱ만이 옳은 설명입니다. 따라서 정답은 1번인 <보기> ㄴ입니다.

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